Classe 1965, Stefano Breme inizia l'attività ciclistica nell'Unione Ciclistica Costamasnaga nel 1978 e vi rimane per quattro stagioni, due da Esordiente e due da Allievo. Si piazza per 25 volte tra i primi cinque (dieci piazze d'onore) e colleziona 3 vittorie: 1 da esordiente a Cremnago di Inverigo, 2 da allievo a Capiamo Intimiano e Sirone.
La vittoria da Esordiente a Cremnago di Inverigo, a due passi da casa, arriva dopo una serie di piazzamenti, Breme assapora la gioia del primo successo in carriera al termine di 51 km, corsi in 1h25', alla media di circa 36 km/h. Il minuscolo masnaghese anticipa in contropiede i più quotati avversari, in una corsa impegnativa che mette fuori causa gli specialisti dello sprint, passando sotto il traguardo con le mani sul manubrio, da ragazzo per bene e modesto. Il trionfo dell'UC Costamasnaga è completato dal secondo posto di Dario Molteni, dal quarto di Massimo Redaelli e dal settimo di Mauro Fumagalli.
Da Allievo, nel 1980 conquista il titolo provinciale comasco, mentre l'anno seguente è autore di una prova eccellente al Campionato Italiano a Pergine Valsugana (Trento), cedendo soltanto nel finale in una giornata climaticamente avversa. Non essendo molto veloce, dà il meglio di sé sui percorsi impegnativi (passista scalatore). La sua carriera prosegue da Juniores all'UC Comense, dove raccoglie una decina di successi; quindi passa tra i Dilettanti con la Isaltessari Salotti, la Negrini Mecair, la Darimec Ingranaggi, l'US Serravalle Mobil Expor. In questa categoria conquista una ventina di vittorie, tra cui la Milano-Rapallo nel 1986 proprio davanti a Luca Rigamonti, il Memorial Fausto Coppi a Novi Ligure, la Coppa d'Inverno a Biassono.
Approda al professionismo nel 1989 con la Titani Bonifica Benotto, poi passa alla Selle Italia di Gianni Savio, in cui militano Leonardo Sierra e Andrea Tafi. Disputa il Giro d'Italia del 1990.