Ricalcando le orme del padre Max, anch'egli ciclista, Beat passa professionista nel 1979 con la Willora-Impala e si mette subito in luce in salita vincendo il Campionato svizzero della Montagna, competizione che in carriera vincerà altre 3 volte. L'anno che lo rivela al grande pubblico è però il 1981: partecipa al Giro d'Italia 1981 e si aggiudica al termine di una bella fuga la ventesima tappa con partenza da San Vigilio di Marebbe e arrivo impegnativo alle Tre Cime di Lavaredo, che per l'occasione rappresentavano anche la Cima Coppi della corsa rosa. Dopo questa vittoria Breu conclude il Giro all'8° posto.
Qualche settimana dopo prende parte al Giro di Svizzera e conferma le sue ottime qualità vincendo due tappe, la classifica finale e la classifica di miglior scalatore. A coronamento della stagione si aggiudica anche il prestigioso Campionato di Zurigo. Nel 1982 partecipa per la prima volta al Tour de France e il suo debutto è molto positivo: si aggiudica due arrivi in salita molto duri, a Pla d'Adet e sull'Alpe d'Huez; nella classifica finale termina al 6° posto, prestazione che resterà la sua migliore in assoluto al Tour.
Prima della corsa a tappe francese aveva preso parte nuovamente al Giro di Svizzera dove aveva conquistato una tappa, il 4° posto nella generale e ancora una volta la maglia di miglior scalatore. Il 1983 è un pò sottotono ma conclude al 10° posto il Giro di Svizzera e al 22° il Tour de France. Nel 1984 torna a gareggiare al Giro d'Italia e lo conclude all'8° posto, poi, prima di partecipare senza successo al Tour, vince una tappa e si classifica 6° al Giro di Svizzera. Dopo un 23° posto al Tour de France 1985, nel 1986 si impone in una prova di ciclocross e termina al 2° posto in una tappa del Giro di Romandia mentre è 12° al Giro di Svizzera.
Nel 1987 vince altre gare nel ciclocross e si aggiudica una tappa al Giro di Romandia. Il 1988 gli regala ancora soddisfazioni nel ciclocross dove si piazza 3° ai campionati del mondo ed è campione nazionale svizzero mentre su strada conclude 11° sia il Giro d'Italia che il Giro di Svizzera (in quest'ultimo conquista un 2° posto di tappa). Il 1989 segna i suoi ultimi grandi risultati su strada: per la seconda volta infatti si aggiudica la classifica finale del Giro di Svizzera, dove conquista anche una vittoria di tappa e la classifica degli scalatori, poi conclude 21° il Tour de France. Negli anni successivi si dedica principalmente al ciclocross dove vince nuovamente il campionato nazionale nel 1994 prima del ritiro dall'attività agonistica avvenuto nel 1996.
In carriera Breu ha corso con le maglie di Willora-Impala, TI-Raleigh, Clio-Aufina, Carrera-Inoxpran, Isotonic-Cyndarella, Domex-Weinmann ed Appenzeller Kase. Ha partecipato in totale 8 volte al Tour de France e 4 volte al Giro d'Italia.