Atleta molto forte sul passo, Andrei Kunitski ha nelle prove a cronometro il suo punto di forza. Si mette in luce tra i dilettanti sia con la maglia della nazionale bielorussa sia con la formazione dilettantistica italiana Palazzago, formando con il connazionale Branislau Samoilau una coppia formidabile. Nel 2005 coglie risultati importanti in corse impegnative: si aggiudica infatti il duro Palio del Recioto in Veneto, la Firenze-Viareggio e una tappa del Giro delle Regioni. Inoltre nello stesso anno si piazza secondo sia nel campionato nazionale su strada che in quello a cronometro. Nel 2006, dopo l'avvio di stagione, scappa dal ritiro della Palazzago, con il connazionale Samoilau, per tornare in patria e lì prende parte ad alcune gare, tra cui la corsa open Memorial Oleg Dyachenko in cui si classifica 5°. Dopo il 2° posto nel campionato nazionale a cronometro partecipa al Campionato Europeo Under 23 e si piazza 6° nella prova a cronometro. Nel mese di agosto la formazione professionistica Team Acqua e Sapone - Caffè Mokambo lo ingaggia assieme a Samoilau come stagista e gli consente di prendere parte ad alcune gare professionistiche di fine stagione. A fine settembre partecipa al Campionato del mondo under 23 a Salisburgo classificandosi 16° nella prova a cronometro e 63° in quella in linea. Nel 2007, confermato dal Team Acqua e Sapone, debutta come professionista.