Nato a Montebello Vicentino (VI) il 24 settembre 1933, deceduto a Zermeghedo (VI) il 6 settembre 1981. Passista scalatore. Professionista dal 1957 al 1960, senza ottenere vittorie.
Da dilettante esplose nel 1955, dove fra le altre colse un terno di classiche della categoria, ovvero la Coppa San Geo, il GP San Rocco e la Vicenza Bionde. Ciò gli valse l'entrata nelle sfere azzurre del vulcanico ed epocale cittì Proietti, che lo inserì fra i "Probabili olimpici" per Melbourne 1956. Di conseguenza ogni possibilità di passare professionista fu per Rino Bagnara fermata a monte. Nell'anno olimpico gareggiò per l'Italia ai Mondiali di Copenaghen, dove si ritirò dopo aver esaudito le consegne di Proietti. Nel 1957, finalmente, poté passare nell'elite in seno alla Torpado. Per il vicentino fu un esordio discreto, o forse più, considerando i tempi ed i corridori epocali coi quali correva. Partecipò al Giro d'Italia, dove fu un ottimo animatore: 8° nella tappa di Genova, indi 4° in quella di Saint Vincent del giorno dopo e 6° nella conclusiva di Milano. Chiuse la "Corsa Rosa" al 48° posto. Nell'anno fu poi 10° nel Giro di Campania, 19° nel Giro di Romagna e 31° nel Campionato Italiano. L'anno seguente fu 2° in una tappa del Tour de Champagne in Francia, 7° nel GP di Pistoia e 31° nel Giro del Veneto. La flessione gli provocò la non conferma per il1959 da parte della Torpado e così Bagnara fu costretto a correre tutta la stagione '59 da isolato con accasamenti parziali, a volte per singole corse. Non andò male, perché in quell'insolito ruolo, seppe cogliere il 4° posto nel GP Altopascio, il 7° nel G.P. Industria e Commercio di Prato e il 15° nel Giro del Veneto. Nel 1960 ritornò l'accasamento grazie alla ambiziosa Molteni, ma la stagione del corridore vicentino, anche per acciacchi vari, fu deludente, ed a fine anno, chiuse con l'agonismo.