Inizia come dilettante nel Pedale Monzese nel 1948. Lavora in una ditta di confezioni e per farlo correre il Pedale Monzese gli da maglia, calzoncini e una specie di rimborso spese. E' uno dei migliori dilettanti in Lombardia, di lui parlano un gran bene e passa professionista nel 1949. Esordisce nell'ottobre del 1949 alla Tre Valli Varesine, da isolato, con i colori del Pedale Monzese e fora una gomma nella fase decisiva della corsa. Passano pochi giorni e arriva sesto al Giro di Lombardia dopo essere passato quarto in cima al Ghisallo. Per molti sembra avere un grande avvenire ed ha appena compiuto venti anni. Ma dopo una prima stagione (1950) incolore, Giorgio riesce con orgoglio ed impegno a ritagliarsi un ruolo di primo piano nel ciclismo dell'epoca.
Buon velocista è stato tra i più solidi corridori degli anni '50, in grado di primeggiare su ogni tracciato. Dotato di un notevolissimo senso tattico è riuscito a diventare campione d'Italia al termine delle cinque prove previste nel 1956. Nel Giro d'Italia del 1952 vince la prima tappa (Milano-Bologna), in volata davanti a Magni e Coppi, indossando così l'unica maglia rosa della carriera: il giorno seguente infatti perde subito il primato. Si è fatto apprezzare per le sette vittorie di tappa ottenute nel Giro d'Italia e per le molte vittorie in corse in linea per un totale in carriera di 30 successi.
Due volte in Nazionale ai Mondiali (1952 e 1956), si è ritirato in entrambe le occasioni. Dopo aver corso sempre con la maglia della Legnano alla fine della stagione '58 si ritrova senza squadra; a dicembre viene avvicinato da Molteni e firma per loro, con l'impegno di correre e fare il direttore sportivo in corsa. Gareggia e si occupa anche dei conti degli alberghi e della logistica. Corre quattordici tappe del Giro d'Italia nella doppia veste, poi a Verona si ritira e sale sull'ammiraglia.
Come direttore sportivo viene accettato subito dai corridori e si fa apprezzare prima nella Philco, quindi nella Molteni guidando Motta e Dancelli e, soprattutto, Eddy Merckx nel periodo del massimo fulgore (record dell'ora '72).
Tra il 1977 e il 1981, il marchio brianzolo entra nella fase del tramonto e Albani abbandona il ciclismo attivo, lavorando come amministratore responsabile di un salumificio a Cantù. Questo fino al 1982 quando viene nominato vicedirettore del Giro d'Italia, carica che ha mantenuto ininterrottamente fino al 2005, saltando una sola edizione.