Fabio Parra è stato un ottimo scalatore degli anni '80. In quell'epoca in cui il colombiano più celebre fu senza dubbio Luis Herrera, Parra fu comunque in grado di ritagliarsi degli ottimi spazi, vincendo due volte il Giro di Colombia e alcune tappe alla Vuelta e al Tour.
Il suo momento di massima celebrità arrivò durante il Tour de France del 1988: Parra vinse in solitaria la prima tappa alpina, dimostrando una grande condizione. Il giorno dopo, nell'ascesa all'Alpe d'Huez, scattò ripetutamente, riuscendo a staccare tutti, ma ogni volta fu bloccato dalle moto di alcuni fotografi che, per rimanere il più vicino possibile al gruppetto dei migliori, gli sbarrarono il passo. Parra non riuscì quindi a vincere la tappa e anzi nel finale, esausto, perse una manciata di secondi nei confronti del vincitore Rooks e di Delgado, che poi avrebbe vinto il Tour. Alla fine della corsa francese Parra fu ottimo terzo, ma conservò il rimpianto per quella giornata dell'Alpe d'Huez: se non lo avessero ostacolato, sarebbe riuscito ad arrivare primo al traguardo? E la classifica generale avrebbe potuto prendere una piega diversa?