Nato il 5 novembre 1940, Enzo comincia a saggiare il duro mondo del ciclismo all'età di diciassette anni, indossando la maglia del gruppo sportivo Aurora. Portato più alle volate e alle prove contro il tempo che non alle salite, Enzo dimostra questa sua particolare inclinazione nel biennio '57-'58. Coglie infatti il successo in entrambe le edizioni del Campionato Italiano a squadre del CSI. Nella prima occasione unitamente a Girelli, Trepin e Zanei. Il bis invece con Fraccaro e Simoni. Dopo un periodo di transizione nella sua ultima stagione da dilettante (1961) riesce ad imporsi nel Trofeo della Repubblica, nel Trofeo Degasperi e nel Memorial Dal Prà. Un tris d'eccezione che costituisce un ottimo biglietto da visita per l'accesso tra i professionisti che avviene da lì a poche settimane. La sua prima squadra è la San Pellegrino e l'inizio non potrebbe essere migliore. Il 26 giugno 1962 nel Giro del Trentino si impone su altri quattro compagni di fuga tra i quali il fratello Aldo. Dopo questo successo la stagione non gli riserva altre particolari soddisfazioni in attesa del 1963 quando è uno dei protagonisti del Giro d'Italia. Enzo si distingue nella tappa che porta i girini da Belluno a Moena, dopo aver fatto incetta di passi dolomitici. Sono ben cinque i colli da scalare: nell'ordine Duran, Staulanza, Rolle, Valles e San Pellegrino. Assieme allo scalatore Vito Taccone, giunto solitario al traguardo dopo essere transitato in testa su tutti i passi, Enzo Moser e Franco Balmamion sono a loro volta protagonisti di una prestazione destinata ad entrare nella storia della corsa rosa. Questo tandem affiatato riesce a resistere all'inseguimento del gruppo e Moser conquista il secondo posto di tappa mentre Balmamion, già vincitore del Giro precedente, indossa la maglia rosa che difenderà fino al traguardo finale.
Anche il 1964 vede Enzo protagonista nella corsa rosa. Passato intanto alla Lygie, formazione capitanata dal fratello Aldo, Enzo al termine della terza frazione, la Brescia-San Pellegrino, vinta da Franco Bitossi, indossa la maglia rosa che rimane sulle sue spalle fino alla cronometro individuale Parma-Busseto vinta da Anquetil che ipoteca il successo finale.
Di lì a dodici mesi, Enzo Moser non ancora venticinquenne, decide di ritirarsi dal ciclismo attivo. Rientrerà nell'ambiente sei anni dopo, nel 1971, in veste di direttore sportivo della Gbc, guidando tra gli altri i fratelli Aldo e Diego. Un'esperienza che dura fino al 1973, quando in veste di vice di Bartolozzi approda alla Filotex assieme a Francesco, Aldo e Diego. Le soddisfazioni non sono molte e decide di abbandonare anche questa attività.
Nel 1984 avviene il rientro nell'ambiente: gli viene affidata la guida tecnica della Gis Tuc-Lu. Questo gli consente di essere coprotagonista della magica stagione di suo fratello Francesco caratterizzata dal doppio record dell'ora a Città del Messico e dai successi nella Milano-Sanremo e nel Giro d'Italia.